[統計学]22. 2変数の連続型確率分布

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前回の記事→2変数の離散型確率分布

前回は2変数の離散型確率分布を学びました。連続型もほとんど同じです。ただ、Σのところ積分に変えるだけですので、ところどころ省略しながらやっていきたいと思います。それではやっていきましょう!

連続型確率変数X,Y(前回と同様にXが身長,Yが体重とします。)に対して、

a≤X≤b かつ  c≤Y≤d となる確率 P(a≤X≤b, c≤Y≤d)

と表せるとき、このfXY(x,y)を確率変数X,Yの確率密度関数と言います。

これも確率密度関数ですから、すべての関数値は0以上であり、XY平面全体で積分すると1になります。

周辺確率密度もシグマの代わりに積分をすればいいわけですから、

これがXの周辺確率密度であり、身長の確率密度関数になります。体重がマイナス無限大から積分していますが、別に0から積分しても同じです。体重はマイナスになることはありえませんが、有効質量を考えるならマイナスになることはあるという言い訳をしておきます。

ということでXの期待値と分散、そしてXとYの共分散を求めていきましょう。計算を省略していますが、詳しい計算は前回の離散型に乗っていますのでそちらを参考にしてください。

Xの期待値

Xの分散

これらはYについても同様に計算できます。

XとYの共分散

というように計算できます。

続いてaX+bY+c (a,b,cは定数)の期待値と分散はどうなるか確かめてみましょう。

当然、期待値には線型性があるので、

となりまして、分散は前回と全く同じなので使い回しですが、

となります。今回は以上になります。前回の記事の内容を理解された方にとっては簡単だと思います。次回は2変数の独立という話をしていなかったというのと、多変数の場合はどうなるのかということについて書いていきたいと思います。

次の記事→2変数の独立の調べ方とその意味

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