[複素関数]7. 複素関数の微分の演習

広告

前回、前々回と複素関数の微分を学びましたね。その結果をまとめると以下のようになります。

f(z)が微分可能↔︎コーシー・リーマンの関係式が成立

そしてコーシー・リーマンの関係式とは次のようなものでありました。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)に対して、

これが成立するとき、f'(z)は

f'(z) =ux(x,y)+ivx(x,y)

というようになりました。今回はこの結果を活用して実際に簡単な複素関数を微分していきたいと思います。

例題として

f(z)=z2+iz+1の微分係数を求めていきましょう。

まず、これが微分可能であるか確かめるためにz=x+iyとおいてコーシー・リーマンが成立するか計算しましょう!

よって、

これはコーシー・リーマンの関係式が成立します。よってf'(z)は存在し、

z=x+iyなので、

f'(z)=2z+i

z2+iz+1  の微分は  2z+i

となりました。ここであれ?と思う方もいらっしゃることだと思いますが、

実数を微分したときと似たような結果になります。

これは偶然でもなく、いろんな関数を微分しても実数のときと同じような感覚で微分することができます。複素関数の微分といっても、定義は実関数の微分と似ているし、条件であるコーシー・リーマンの関係式さえクリアすればあとは大体同じ感覚で構いません。

それでは演習をやってみましょう。

演習. 次の関数の微分可能性を調べ、微分可能であれば微分係数を求めてみましょう。解答は下の方にあります。

解答

(1)

(2)

という結果になりました。複素関数の微分の特徴は、微分可能の条件が実数よりも厳しいことです。次は正則関数と調和関数について学んでいきます。

関連記事