[統計学問題演習]20. 正規分布を実際に使ってみよう

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前回の記事→標準正規分布表の見方を解説!

正規分布と標準正規分布を学びました。というわけで、演習をやっていきましょう。今回はそれなりに応用がきく演習ですが、慣れないと難しいところもあるので分からなくても解答を見て理解できればそれで問題ないと思います。どういうステップで解いていくのかだけ、理解してもらえばそのうち自分でもできるようになります。それではやっていきましょう!(解答は下にあります。)

問題

ある工場でネジを生産しています。6cmのネジを作ることが必要で、合格圏内は5.8cm~6.2cmのネジです。それより大きかったり小さかったりするものは不良品になります。調査をすると、生産したネジの大きさはN(6, 0.01)の正規分布に当てはまることがわかりました。

(1)N(6, 0.01)の確率密度関数を書いてください。

(2)ネジの不良品率を求めてください。(標準正規分布表下に抜粋しました。)

解答

(1)これは覚えているかどうかのチェック問題です。正規分布の確率密度関数は

でしたね。これに期待値6、分散が0.01ですから、σは0.1となるのでこれを代入すれば

これが正解になります。もっと見やすく直しても大丈夫です。

(2)ネジの大きさをxセンチとします。まず、大きすぎて不良品となってしまうパターンである、x>6.2となる確率を求めていきます。この確率をP(x>6.2)と表しますね。続いて、標準正規分布表を使うために、xを標準化します。標準化の式は

 

ですから、これに期待値と標準偏差を代入していきましょう。

となります。これの意味は、ネジがでかすぎて不良品となる確率を標準正規分布に直すと、z≥2となる確率になるということです。正規分布から直接求められないので標準化するわけですね。

標準正規分布表から0<z<2となる確率は0.4772となることがわかります。

つまりzが2より小さくなるのはこれに左半分の0.5を足して0.9772になります。

だから大きすぎて不良品となる確率は、

1-0.9772=0.0228

となります。次に小さすぎて不良品となる確率、つまりP(x<5.8)を求めていきたいのですが、正規分布の対称性から、これも結局大きすぎて不良品のパターンと同じ0.0228となります。これを標準化して求めても結果は同じです。

よって不良品率は

0.0228+0.0228=0.0456となることがわかりました。答えとしては4.56%ですね。別の方法でも同じ答えが出ればオッケーです!

ちなみに最初はP(x>6.2)としましたが、P(x≥6.2)と、等号をつけても結局同じです。連続型確率分布ではx=6.200000000…となる確率は0なので。

いかがでしょうか、分からないところや私が間違えてるところがあればコメント受け付けております。

次回から「ある程度標本があればなんでも正規分布とみなすことができる」という定理である、中心極限定理を学ぶための準備をしていきたいと思います。

次の記事→2変数の離散型確率分布

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