[統計学]15. 確率分布の分散の計算と一次変換

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前回の記事→連続型確率分布を学ぼう

前回までは離散型や連続型の確率分布の基本的な事項について学びました。

その際、期待値については線型性が成り立つことを覚えていますか?忘れてる方は見直して復習してください。
今回は分散の計算をですね、定義通りやってもいいのですが、結構ハードなので、ちょっと楽して求めて行きたいと思います。

離散型でも連続型でも結局は同じことなので、今回は連続型で計算して行きます。
まず分散は

という式で表せました。この二乗の部分を展開してみましょう!

というふうになります。これを使うと分散の計算が楽になりますから結構便利なので、この関係は必ず覚えるようにしてください!
ちなみにE[1]がなぜ1になるかというのは、常に1しか出ないサイコロの期待値を考えると、やはり1です。だからE[1]=1が成立します。

続いて一次変換をやってみたいと思います。実はこれは基本編でも計算したのですが、確率分布でもやっていきましょう。
確率変数Xに対して、
Y=aX+b
と定義してあげると、Yの期待値E[Y]と分散V[Y]はどのように変化するのか調べていきます。
まず期待値ですが、線型性が成り立つことを知っているので、

E[Y] = E[aX+b] = aE[X]+b =aμX+b

となるので、Yの期待値は元の期待値E[X]をa倍してbを足すと求まります。
続いて分散を求めていきます。

これで分散がaの二乗倍されることがわかりました。

この結果はこれから当たり前のように使っていくので、なるべく覚えた方がいいです。

そして基本編と同じように、これを使ってあらゆる分布を確率分布に変換することができます。

さらに基本編では、期待値μ、分散σ2の分布Xを期待値0、分散1の分布Zへと変換して理解しやすくしました。まったく同じことが確率分布でも可能です!すでに覚えてらっしゃる方も復習になりますので目を通してください。それでは期待値μ、分散σ2の分布Xを期待値0、分散1の分布Zへと変換する一次変換を

Z=aX+bとすると、

まず先ほどの結果からσ2を1にするためには

となりますね。この上で期待値を0にする方程式は

となりますね。よって標準化するには

とすればいいことがわかります。

そして基本編と同じように、これを使ってあらゆる分布を確率分布に変換することができます。

次の記事→相関係数と確率密度のおさらい

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