[線形代数]5.逆行列の意味と計算方法を解説!

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いきなりぶっちゃけますが、いままでは2×3行列とか扱ってきましたが、、、

正直あまり使いません!
よく使うのは正方行列列ベクトルです。
なので、これ以後は行列といえば正方行列のことだと思ってください。

それでは本日逆行列について学ぶ前にちょっと復習をします。
前回は単位行列と行列の転置について学びました。単位行列はどんなものかって覚えていますか?
もう一度確認しておきましょう。

単位行列はどんな正方行列Aに対しても
AE=EA=Aが成り立つものでありました。

本日学ぶ逆行列はある行列Aに対して
AB=BA=E
となるとき、Bを逆行列といい、Bをdaum_equation_1466681508348と書きます。

正方行列には逆行列を持たない行列もありますので、逆行列を持つ行列を正則行列、持たない行列を特異行列と言います。

n×n行列の逆行列の求め方は結構高度な分野であり、だいぶ後になるかもしれません。

最近ではパソコンやスマホアプリでも逆行列を求めることはできますので、まずは2×2行列を例にして逆行列を使って何ができるかを見ていきましょう。

2×2行列Aが

daum_equation_1466408640326

と表せるとすると、

daum_equation_1466827874097
のときAの逆行列が存在し、その逆行列は

daum_equation_1466828414067

とかけるんですね。これはすでに知ってらっしゃる方も多いと思います。

なぜこうなるかというのは現段階では説明しませんが、おいおいわかってくるかと思います。

数式として覚えるのではなく、左上と右下を交換、右上と左下は符合反対。

と図として覚えましょう。

それでは一つ例を紹介します。

daum_equation_1466408203123

の逆行列は

ad-bc=1×4-2×3=-2

なので逆行列が存在し、その逆行列は

daum_equation_1466830654461

となります。

ではこれで次の連立方程式を解いてみましょう。

daum_equation_1466830770606

行列の積を利用すれば次のように行列で書き表すことができます。

daum_equation_1466830867444

左辺を展開すると

daum_equation_1466830942626

となるからこの変形は正しいですね。

それでは両辺左から

daum_equation_1466408203123

の逆行列をかけます。すると

daum_equation_1466831328539

よって

x=-1

y=2

となることがわかりました。

もしかしたら普通に連立方程式を解いた方が早いと思われるかもしれませんが、逆行列は方程式が大きくなっても求めれます。5次方程式とかになれば、アプリとかでサクッと逆行列を出して解いちゃうことができますね。

以上1~5の記事で大まかな行列に関する知識は終わりましたので、次の記事でまとめの演習を行います。

簡単すぎるとあれなのでちょっと応用問題も入れました。

解けなくても解説を見て理解できれば十分だと思います。

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