[線形代数]3.行列の積の計算方法とは?簡単な覚え方があります!

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さて、後回しにしていた行列の積をやってみましょう。

2×2行列どうしのかけ算を実際にすることが多いわけですが、次の公式を見たことがある人も多いでしょう。

daum_equation_1466327319551

しかし、こんな公式を覚えたところで、3×3行列のかけ算になったら当然対応ができないわけです。だからこんな公式を覚えなくても、どんな形の行列でも計算できる方法があるのでその方法を身につけましょう。

その方法は、右側の行列を上に上げることです!

具体的にどういうことかと言いますと、先ほどの例で右側の行列を上に上げるとこうなります。

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とこうなります。点線での交点が4つありますが、左上の交点に注目してください。

なんとなく、aとebとgが対応してる気がしてませんか?

この対応してるもの同士をかけてae,bgが生まれます。

この二つを足す、つまりae+bgが答えの左上の要素になっています!

同様に、右上の交点、左下の交点…と計算すると公式と全く同じ形が出てくるはずです。

しかも、この方法はどんな形の行列でも応用できます

例えば2×3行列 × 3×2行列の計算も同じです

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同様に計算すると交点が9つありますので、この計算結果は3×3行列になります。

ここまでは計算が無事出来てましたが、下の行列はどうでしょう

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交点は6つ出来ましたが、左上の交点をみてください。[1 2]に対応するもの[1]しかなく計算できません。困ったと言えば困ったわけですが。

実はこのとき、このかけ算は定義されておらず、計算できません!

これは非常に大事なことなので覚えておくといいです。

一般に

A = n×m行列

B = p×q行列のとき

この行列の積、ABはm=pのときのみ計算できて

その計算結果はn×q行列になります。

さらに、行列の積ABとBAは基本的に異なります。

これが行列のかけ算のややこしいところであります。

なので何かしらの方程式があり、両辺に行列Aをかけるときは

両辺に行列Aをかける

ということはできなくて、行列Aを右からかけるのか、左からかけるのか明示しなくてはなりません。

ちょっと用語の説明をしますが、全ての要素が0の行列を零行列(ゼロ行列)といい、Oと表しまして次のような特徴があります。

A≠O,B≠Oであるが、

AB = O

となることがあります。

それでは今回は行列の積について学んだので演習に入りたいと思います。

次回は単位行列と行列の転置について学んでいきます。

演習

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解答

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