31. 指数分布

前回ベルヌーイ分布を学びましたが、それに引き続いて指数分布を学んでいきましょう。流れとしては前回と全く同じになります。

指数分布は様々な事象を表すことができます。例えば道路を歩いていて人とすれ違う確率分布は指数分布で近似できることがあります。このほかにもある程度サンプルを取ってきて、その確率分布の形が指数分布と近ければ近似してもいいんじゃないかと思っても構いません。

指数分布は連続型確率分布であり、その関数は下のようになります。

 λ>0である。

グラフの厳密な形や期待値は定数λによって変化しますが、グラフの概形は下の図のようになります。

指数関数でλが正であることから、だいたいこういう形になることは想像できると思います。

これの何が知りたいかというと、期待値や分散ですね、そのためにモーメント母関数を計算していきます。

と簡単な形になりました。

これを微分していくと、

となります。よって

ですから期待値と分散は

となります。だいぶ慣れてきたかなと思います。この結果を導ける自信がある人は覚える必要はありませんが、何度もやってると自然と覚えてくると思います。

結構計算はハードですが、やってることは数3の範囲ですし、一度理解してしまえば導くことも簡単ですね!

次回はポアソン分布に対しても同様のことをします。