30. ベルヌーイ分布(二項分布)

前回モーメント母関数を学んだことで、分布の期待値や分散が計算できるようになりましたので、ついによく知られた分布を詳しく調べていきます。まず初めにベルヌーイ分布(二項分布)について調べていきましょう!ベルヌーイ分布は確率分布の中でも基本的な分布で、離散型確率分布となりますが、これを発展させると連続型確率分布の正規分布を導くことができる重要なものです。

ベルヌーイ分布とはある事象の成功する確率p、成功しない確率q(p+q=1)として、同じ条件でn回繰り返したときに、x回成功する確率分布のことを言います。これをB(n,p)と表します。

それではx回成功する確率P(x)は、

というようになりますね!

例えば、演習でやったような、3回勝負で、Aが勝つ確率(成功する確率)が75%で、Aの勝つ回数の分布をと表します。

この確率分布は

で表されます。

という感じに使います。さて、この分布の期待値や分散を求めていきたいとおもいます。このためにモーメント母関数を計算するのですが、最初の方は慣れてないと思うので、とりあえず式の変形を追っていけばそのうちできるようになると思います。

最後の等式の変形は二項定理の応用です。

このようにモーメント母関数を求めることができました。復習になりますが、期待値と分散は下のように表されます。

なので、モーメント母関数から、期待値と分散を導くために、M'(0)とM”(0)を求めます。

先ほど求めたモーメント母関数をθで微分すると

ここでθ=0とすると

M'(θ)をθで微分すると

ここでθ=0とすると

となります。よってベルヌーイ分布の期待値は

分散は

となります。

今後出現する様々な分布でこのモーメント母関数をもちいたアプローチをします。不安のある方はもう一度モーメント母関数を見返してみてください。また、このベルヌーイ分布は他の分布を導く時に使うのでマスターしておくといいと思います。

次回は指数分布をやります。今回と流れは同じですが連続型確率分布となっています。

次回は31. 指数分布