29.モーメント母関数

モーメント母関数というのは全てのモーメントを生み出すお母さん的なやつです。

まずモーメントのおさらいをしましょう。

Xの原点周りのr次モーメント

 

Xの期待値周りのr次モーメント

と表されましたね。

ここでXの期待値周りの2次モーメントが分散は展開できるので、

というように、期待値周りのモーメントであっても、展開することで原点周りのモーメントで計算することができます。

よって全ての原点周りのモーメントがわかれば確率分布がわかることになります。

全ての原点周りのモーメントを一つの関数で表したものがモーメント母関数M(θ)であり、次の式で表します。

(連続型)

このeは自然対数(2.71828…)です。このままでは何のこっちゃという感じですが、この指数部分をマクローリン展開すると下のようになります。

ですので元の式に代入すると、

まだどのように使えばいいのか難しそうですが、

この式が重要なので覚えておいてください。この両辺をθで微分してみると、

そしてθ=0を代入してみると

こうして、原点周りの1次モーメントを求めることができました!

さらにθで微分した式をもう一度θで微分してみると、

これをθ=0にすると、

となり、原点周りの2次モーメントも求めることができます。

一般に、次のことが言えます。

つまり、モーメント母関数を何回も微分してθ=0とすることで、全てのモーメントを求めることができるということです。

もちろんモーメント母関数から分散を導くこともできます。

分散は冒頭でやった通り

ですから

となりますね!

ちなみに離散型の時のモーメント母関数も同様です。

結局は同じ結果に行き着きます。

こういうことを踏まえて次回はベルヌーイ分布(二項分布)の計算をやっていきます。実際にモーメント母関数を利用できるのでいい練習になると思います。

次回は30. ベルヌーイ分布(二項分布)