3.複素平面

複素解析というのは複素関数を微分や積分をできるようになるのも目標のひとつです。そのため複素数を平面上の図として表現することが不可欠です。

今日の内容はそれほど難しくないですが、これから何度も使うことなのでめちゃめちゃ大事です。

まず、z=x+iyを図示するときは、
横軸(実軸と言います)にx
縦軸(虚軸と言います)にy
とすればzは平面上の1点として表現できますね。これを複素平面といいます。

例えば、z=3+4iのときはこんな感じでかけますね。

Untitled

さて、複素平面上の1点を表す方法は1つだけではありません。
長さと角度を用いた座標系である極座標でも表せます!

先ほどの例ではこんな感じになりますかね。

Untitled

(汚い図でごめんなさい。マウスで描いてます。)
z=x+iyに対して
zの絶対値をr
ベクトルozと実軸とのなす角をθとすると下の三角形から

Untitled

x=rcosθ
y=rsinθ
ですからzは
z=x+iy=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)
と書けますよね。
これをzの極形式といい、rを長さ、θを偏角といいます。
偏角はarg z(アーギュ)とも書きます。

しかし、sinとcosが周期が2πの周期関数ですから、ある偏角θがわかると

θ+2nπ (n:整数)

もまた偏角になるわけであります。このように偏角の書き方が一意に決定できないのは厄介ですから、表し方が一つに定まるようにルールを決めましょう。

-π ≦ arg z ≦ π を満たすものをzの偏角の主値といいArg zと書きます。

これがルールで主値を使えば無事に一つに定めることが可能になりました。

以上2つの複素数の表し方を解説しました。普段どっちで使えばいいかと聞かれると、正直やりやすい方ならどっちでもいいです。
今はx,yで表す方が慣れているかもしれませんが、そのうち極形式を使う機会が多くなり慣れてくると思います。

ここで極形式で表すと嬉しいことがある例をあげてみます。

daum_equation_1466276652286

となります。つまり複素数のかけ算は、

長さはかけ算

角度は足し算

とてもシンプルな形になるわけです。

割り算の場合も似たような計算ができて、

長さは割り算、角度は引き算と言えます。

ちょっと具体例を見ていきましょう。

daum_equation_1466324093975

かけ算は超かんたんになりました。

累乗計算のとこをちょっと解説しますと、長さは1だから長さの方は何回かけても同じで、

daum_equation_1466324552806

2乗なら角度は足し算ですからこれを繰り返すと5乗なら角度は5倍というわけになるわけです。(わからない方は実際に計算してみてください。)

これを一般化すると

daum_equation_1466324792172

となるわけです。これをドモアブルの定理と言います。

この定理は、長さはかけ算、角度は足し算のところから導けますので覚えなくても大丈夫です。

ちなみに極形式のデメリットは形を見ればわかりますが、足し算、引き算が計算しにくいところです。

それでは問題を解いてみましょう。ちょっと応用問題ですが解けなくても答えを見て理解できれば全然オッケーです。

1.次の複素数を極形式で表してください。

daum_equation_1466326093158

2. 次の計算をしてください

daum_equation_1466326467631

解答

1.

daum_equation_1466326390065

2.

daum_equation_1466326619163

次回は4.複素数列と極限