1.複素関数とは

いきなりですが、

虚数単位iと実数x,yを用いて
x+iy
と表せる数を複素数と言います。

これが複素数の定義で、このときのxを実部、yを虚部と言います。虚数単位iというのは二乗すると-1になる数です。複素数の主役と言っても過言ではありません。

今まで関数といえば全て実数の世界で完結していましたが、虚数を考えることで新たなことを発見していきます、現実は実世界ですので、虚数を使った計算を実世界でどのように解釈していくかも重要なことになっています。

例えばy=ax+bという1次関数もxに実数ではない値を取ることが許されなかったですよね。

じゃあもし関数に複素数が入ったらどうなるの?ってことを調べるのが複素関数論または複素解析という分野です。

複素数が含まれる有名な公式にはオイラーの公式がありますね。

下の公式がオイラーの公式です。

daum_equation_1466180252523

あるいはθ=πのときの方が有名かもしれません。

daum_equation_1466180082982

このオイラーの公式も複素関数論ではよく使いますよ!

複素関数は内容があまり濃くなく、書店でもあまり分厚い本は見かけませんのでさらっとできることだけを確認しておくといいと思います。

複素関数は微分積分が中心となっていますので、高校レベルの数学の知識が前提になっています。そして結構抽象的な議論が多く難解ですか分かりやすく解説して行きたいと思っております。図を使って説明したいですが、なかなか図を作るのに苦労しております。

複素数なんて実際にありえない数字を調べて何の役に立つのかと思う人もいるかもしれませんが、複素数というのは非常に便利な数学のツールなんです。
とくに、座標を回転させるときや、フーリエ変換するときには複素数は必須です。なぜ便利なのかというと、回転座標の式を非常に簡潔に表すことができます。もちろん電気回路における交流電源なども複素数を使うと便利に記述できることが有名な応用例ですね。

フーリエ変換ができれば与えられた時間に依存する関数から周波数成分の情報を取り出すこともできますし、量子力学でよく使う波動関数には虚数が含まれています。ですから量子力学を基礎としている、固体物性や半導体物性工学にも当然複素数が含まれていて、講義では当たり前のように虚数単位というのは使われています。

このように複素関数が間接的に様々な学問に使われています。しかし内容としてそこまで難しいことは出てきませんのでそこまで気負わなくていいと思います。

ここでは、理学部より工学部へ向けて書いているので、証明より演習を重視しているかもしれません。

次回は2.複素数の用語と計算方法