8. 行列のランク

前回は拡大係数行列を使って、連立方程式の解を求めましたね。

連立方程式には解が1組だけ存在するものばかりではありません。

以下の連立方程式を見てください、これは連立なんですが、2つとも同じ式ですよね。

siki13

これの解はどうなるかというと、この直線上の点は全て解になる、つまり解が無数にある状況です。

次の連立方程式を見てください。

siki14

上の式の切片がさっきと違いますよね。この2つの直線が交わらないので、この連立方程式の解はありません。(3x+4y = kとおくと、k=2でかつk=3というのはありえないですよね。)

つまり連立方程式の解の構造には次の3パターンあります。

  1. 解が無数にある
  2. 解が1組存在する
  3. 解がない

となりますね。
連立方程式でみると、解がどのパターンに当てはまるかはすぐに分かります。拡大係数行列で解くと、どのパターンに当てはまるかを調べるときに、行基本変形をします。

結局前回学んだこととやってることは同じですが、新しい概念であるランクというものを導入していきます。

ランクというのは、行列を最後まで行基本変形したときに、「一つでも要素がゼロではない行が何行あるのか」を表すものです。